退院証明書

保険会社に提出する書類ということなのであれば、再発行ではなくて、診断書もしくは、証明書という形で改めて発行する。
もちろん料金は貴院所規定の料金での文書発行とすればよいかと思います。
請求は患者様にするのか、保険会社にするのかを確認することが必要かと思います。
尚、保険会社に直接渡すのであれば、患者様による委任状を確認したほうがよいかと思います。
退院証明書は退院後に3ヵ月以内に他院に入院する際に必要になる物で、基本的に無償で発行されるものですが、
保険会社や患者の勤務先等で、診断書（証明書）の代用として使用しているケースがあるようです。
（回答者　くりぼうずさん）

退院証明書は、あくまでも他の医療機関への入院時に提出するものです。
一般的な入院証明書とは用途が異なります。
生命保険会社はそれぞれ所定様式を用意していることが多いので、保険会社に確認するようにお伝えしましょう。

手術給付金、入院給付金の請求時には、通常は診断書が必要です。
退院証明書のコピーで「傷病名」の確認が可能な場合、診断書の提出を省略できる場合もあるそうです。
保険会社ごとに規定が異なるので、患者さんに質問された場合は個々に確認してもらいましょう。